Temperatuur van een vuur

Hoe heet is een vuur? Deze vraag kan voor het haardvuur opkomen en daar ook worden besproken. Zolang verbranding echter onze voornaamste energiebron is, is zo'n gesprek voor de haard van algemeen belang. Laten we daarom het eenvoudigste thermische model van vuur bespreken dat de natuurkunde ons verschaft.

Verbranding wordt begrepen als een snelle chemische reactie van zuurstof met koolstof, waterstof of een koolwaterstof. Bij deze reactie komt warmte vrij omdat de moteculen een sterkere binding aangaan; de (netto) bindingsenergie, die we B zullen noemen, is een paar elektronvolt of ongeveer 250 kJ mol-1. Het tempo waarin de reactie verloopt wordt bepaald door de dichtheid n van de moleculen, die met een snelheid v tegen elkaar botsen, wat een 'flux' van (nv) oplevert. Verder wordt het tempo bepaald door de reactiecoëfficiënt (nwσ), als w de waarschijnlijkheid is dat de botsing van twee moleculen tot de (andere) binding leidt en σ het geometrische oppervlak van ongeveer 10-19 m-2 is dat die moleculen elkaar bij botsing aanbieden. Deze drie factoren samen leveren de chemische vermogensdichtheid

hc = Bσwvn2

We verdiepen ons nu in de waarden die w, v en n aan kunnen nemen. Eerst de lastigste, w, die als regel wordt geschreven als

w = exp(-A/kT)

met A de activeringsenergie van de reactie, k de constante van Boltzmann en T de temperatuur. Deze schrijfwijze wordt gerechtvaardigd door de beschouwing van de figuur: om van een aanvankelijke energietoestand (1) over te kunnen gaan in een eind-toestand (2) die een waarde B lager ligt, moet het moleculaire systeem eerst met de energie A worden geactiveerd. De waarschijnlijkheid van die overgang hangt sterk van T af.

Nemen we 6000 K als voorbeeld voor A/k (dit komt overeen met ongeveer 50 kJ mol-1 voor A; de meeste verbrandingsreacties hebben echter een hogere activeringsenergie). Dit betekent dat bij een normale temperatuur T van 300 K de reactiewaarschijnlijkheid w = exp(-20) of 2 x 10-9 is: slechts twee op de miljard botsingen leiden tot een reactie. Bij een temperatuur T van 1500 K, die zoals we zullen zien typisch is voor een vlam, is w = exp(-4) of 2 x 10-2: hier leiden wel twee op de honderd botsingen tot een reactie. Hoge temperaturen bevorderen de reactie zeer. Dit is de reden dat chemische reacties zich het snelst in hete systemen afspelen die meestal gasvormig zijn.

Laten we ons beperken tot deze gasfasen. Ook uit directe waarneming van een haardvuur is het duidelijk dat niet het hout brandt, maar gas dat uit het hout stroomt en dat daar eerst door een vergassingsproces gevormd moet worden. In dat geval kunnen we eenvoudige rekenregels voor n en v geven. Voor een gas geldt dat de dichtheid n evenredig is met de druk p

n = p/(kT)

Bij drukevenwicht met de omgeving is p constant en gelijk aan 105 pascal. Verder geldt dat de snelheid v, afgezien van een kleine numerieke constante, wordt bepaald door

v = (kT/m)1/2

waar m de moleculaire massa van ongeveer 3 x 10-26 kg is. We zien dus dat vn2 afneemt als T toeneemt, volgens T-3/2. In de vermogensdichtheid hc is dit effect echter klein vergeleken met het grote toenemende effect door w.

Hiermee hebben we de energie-aanvoer in het vuur hc vastgelegd. Wat gebeurt er dan verder? De in de reactie gevormde moleculen (zoals CO2 en H2O) dragen deze energie in de vorm van een snelheid waarmee ze zich van elkaar verwijderen. Door botsingen met andere moleculen raken ze deze gerichte snelheid snel kwijt. Het resultaat is een toename van de ongeordende moleculaire snelheden, anders gezegd: de temperatuur T. Die gaan we nu schatten.

Een temperatuur verwijst naar een evenwichtssituatie. In ons geval betekent dit dat naast hc een thermisch vermogen hT moet worden gedefinieerd dat naar de omgeving wordt afgevoerd. Warmte-afvoer door geleiding en convectie van het gas zullen wel een rol spelen, maar voor hete vuren zal de afvoer door thermische straling overheersen. We moeten dan denken aan infrarode straling, uitgezonden door elektronen in overgangen tussen geëxciteerde molecuultoestanden die door de botsingen ontstaan. Ook het karakteristieke zichtbare licht van een vlam is afkomstig van deze overgangen, maar het vertegenwoordigt slechts een klein deel van de totaal uitgestraalde energie.

We zullen nu eenvoudig de stralingswet toepassen. Het totaal uitgezonden vermogen van een 'zwarte' bolvormige modelvlam is

P = 4πr2sT4

als r de straal van de bol en s de constante van Stefan-Boltzmann is. We kunnen echter niet veronderstellen dat de vlam zo effectief als een 'zwarte' bol straalt en brengen dit in rekening door het stralend oppervlak kleiner dan 4πr2 te maken. Met een spectraal gemiddelde optische diepte d, de groter is dan r en meters kan bedragen, schrijven we dit oppervlak als het quotiënt van het vlamvolume en d. Daarmee wordt de thermische vermogensdichtheid van de optisch dunne 'grijze' vlam

hT = sT4/d

Hiermee hebben we de energie-afvoer uit het vuur vastgelegd.

De temperatuur volgt uit het gelijkstellen van de aanvoer en afvoer van energie: hc = hT. Na het invullen van de uitdrukkingen voor w, v en n vinden we de transcendente vergelijking

T(11)/2 = { σ d p2 s-1 k-3/2 m-1/2} B exp(-A/kT)

De factor tussen {} bevat grootheden die geheel of grotendeels onafhankelijk zijn van de aard van de chemische reactie en gelijk zijn aan enkele malen 1041 (in het normale stelsel van eenheden). Veronderstellen we ook B ongeveer constant en gelijk aan 4 x 10-19, dan volgt de vereenvoudigde vergelijking

log T = 4,2 - 0,08 A/(kT)

Door proberen vinden we twee oplossingen voor T, die afhankelijk zijn van de activeringsenergie A. Voor de nogal grote waarde A/k = 18.750 K (dus ruim 3 keer zo groot als de eerder genoemde rekenwaarde) is de ene oplossing dicht bij 1500 K en de andere oplossing dicht bij 12.000 K. De kleinste van deze twee is de fysisch relevante, omdat de verbranding bij lage temperatuur begint en zich na eigen verhitting vastzet op het eerste evenwicht dat kan bestaan.

Voor een kleinere waarde van A wordt de evenwichtstemperatuur lager, voor een grotere hoger. (Om precies te zijn: voor een kleinere waarde van A komen de twee oplossingen voor T verder uiteen te liggen; voor een grotere komen ze dichter bij elkaar en kunnen ze uiteindelijk samenvallen; als A dan nog groter wordt bestaat er geen oplossing voor T meer.) Het houtvuur dat gemakkelijk ontbrandt, is daarom niet erg heet. Uit de voorlaatste vergelijking volgt nog dat de invloed van de bindingsenergie B op de verbrandingstemperatuur gering is en verder dat deze temperatuur met de druk p veranderd kan worden.

Dit eenvoudigste thermische model van vuur is dus helemaal zo eenvoudig nog niet. Ik zie het me ook nog niet voor een haardvuur uitleggen, met al die abstracties en formules. Het gaat om ingewikkelde natuurkennis die de natuur stukje bij beetje ontfutseld moest worden, zoals het vuur zelf. Men vergeeft me wel als ik eindig met een citaat uit eigen werk: 'Het vuur wisselt onopgemerkt van eigenaar. Prometheus heeft het de natuur afgenomen en aan de mensen toevertrouwd, die, zoals Shelley het formuleert, dit getemde roofdier met gefronste blik gadeslaan.'

log(A/k): (zinnige waarden: 3.9 tot 4.6)

blauw: log(x)
rood: 4.2-log(A/k)-0.08/x
met x=T/(A/k)

Oorspronkelijke oplossingsgrafiek




Free web hostingWeb hosting